You are herePGSMF

PGSMF


Předmět: Metody matematické fyziky

Katedra/Zkratka: OPT/PGSMF

Rok: 2017

Garant: 'doc. Mgr. Jaromír Fiurášek, Ph.D.'

Anotace: Pokročilý postgraduální kurz metod matematické fyziky. Studenti se detailně seznámí s vybranými pokročilými partiemi matematiky zahrnujícími funkcionální analýzu, variační počet, parciální diferenciální rovnice a integrální rovnice, speciální funkce a teorie reprezentací transformačních grup a stochastické procesy.

Přehled látky:
Funkcionální analýza: Topologie; topologické lineární prostory; obecné věty o lineárních operátorech; spektrální analýza lineárních operátorů; spektrální analýza v Hilbertově prostoru; integrace a lineární funkcionály; prostory zobecněných funkcí (D', S'). Variační počet: Nejjednodušší úloha variačního počtu, klasifikace extrémů, variace funkcionálu, Eulerova rovnice, Legendreova podmínka; zobecnění nejjednodušší úlohy, úlohy s volnými koncovými body, po částech hladká řešení; podmíněný extrém a izoperimetrická úloha, variační úlohy v parametrickém tvaru; pole extremál, postačující podmínky silného a slabého extrému; lineární variační úlohy, invariantní variační úlohy, 1. věta E. Noetherové. Parciální diferenciální rovnice a integrální rovnice: Lineární parciální diferenciální rovnice 1. řádu a jejich soustavy; lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu, klasifikace, fundamentální řešení, klasická a zobecněná Cauchyova úloha, vlnová rovnice, rovnice vedení tepla, Helmholtzova rovnice; okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2. řádu eliptického typu; smíšené úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2. řádu hyperbolického a parabolického typu; lineární integrální rovnice, klasifikace, Fredholmova teorie, Hilbertova--Schmidtova věta. Speciální funkce a teorie reprezentací transformačních grup: Základní pojmy teorie reprezentací; grupy transformací a jejich reprezentace; reprezentace kompaktních a lokálně kompaktních grup; jednotlivé transformační grupy, příslušné speciální funkce, funkcionální vztahy (součtové vzorce, vzorce pro násobení, rekurentní vzorce, diferenciální rovnice, vytvořující funkce). Stochastické procesy: Kolmogorův pravděpodobnostní prostor, střední hodnota, konvergence náhodných veličin; bodové procesy, rozdělovací funkce, korelační funkce; stochastické procesy, hierarchie pravděpodobnostních hustot, procesy větvení; markovské procesy, markovské řetězce; hlavní rovnice; jednokrokové procesy; Fokkerova--Planckova rovnice, Langevinovy rovnice; stochastické diferenciální rovnice.